林燃讲完之后，在座做数论的专家们已经集体起来鼓掌了。
其他博士生或者其他细分领域的数学教授不太了解，也跟着礼貌鼓掌。
一时间，在座记者们摸不着头脑。
等到他们的掌声平息后，才找到身边一个站起来的教授低声问道：
“我想问下，这个很厉害吗？”
“非常厉害，教授又为解析数论找到了一块基石，他今天讲的这两个结果，不仅仅能够用在孪生素数猜想上，还能用在其他数论问题上。
教授不但找到了模数，还把模数范围进行了扩张，模数范围的增加直接增强了筛法和分布分析的能力。
而他在里面用到的双线性模式和分散化技术，更是给我们做解析数论和筛法提供了新工具。
总之这已经是很牛逼的成果了。
一般的数学家靠这个就能拿菲尔兹了，光是有这个结果来一趟哥廷根就值了。”
恩里科·邦别里正是靠这个成果拿的1974年的菲尔兹，他把模数范围从1/2扩展到4/7，对标准定理做重大改进都要到1987。
相当于林燃现在的内容至少也够两个菲尔兹。
然而这仅仅只是开始。
在座的数学家，但凡做数论的，感觉都要高潮了。
“好，各位我们现在把模数推进到了七分之四，抱歉，时间紧张，所以我就不做讨论了。
大家有疑惑可以先记下来，我尽量答疑，如果这次没时间，我回纽约的时候在哥伦比亚大学再做答疑。”
台下福克斯高声喊道：“好，没问题，教授，你继续吧。”
多伊林已经无语了，你叫什么劲啊，这又不是你们的主场，阿美莉卡人都这么令人讨厌吗！
不过考虑到这是前所未有的场合和时间，他没有发飙。
“我们现在要继续推进了。”
林燃在黑板上写了一个新的公式：
这个公式在60年后，叫Elliott-Halberstam猜想，EH猜想由Elliott和Halberstam在1968年提出，发表在《Symposia Mathematica》上，直到2025年该猜想都没有被证明。
这么说吧，这个猜想被证明的话，意味着素数在模数≤1的算术级数中的分布误差可以被有效控制，远超标准定理的二分之一。
孪生素数的K=246，能够迅速被推进到K=6，几乎离孪生素数猜想需要的K=2，只有一步之遥了。
像Nathalie Debouzy在2019年的成果，就通过改进渐进筛法，假设EH猜想成立的话，存在无穷多几乎孪生素数，什么叫几乎孪生素数，意思是p为素数，p-2为素数或半素数。
EH猜想是如此重要，后世的数学家们甚至都已经开始假设它成立了。
也就是说，林燃现在无法再依赖后人智慧，得完全靠自己把EH猜想先给干掉。
甚至可以这么说，EH猜想是模数无限接近于1的猜想，而如果要把EH猜想再往前推，也就是直接就是1，这需要全新的数学框架。
因此进入到这个环节之后，林燃的速度明显慢了下来。
因为更要命的在于，林燃没有办法直接用六十年后现成的定理或者引理，所有六十年后要用的工具都得现场在哥廷根大学的大会堂里重新造一遍轮子。
“双线性形式与分散化，不行，这个最多推进到七分之四。”
“Type II估计，靠短区间分布控制和平滑模数优化，也不行，它还是推不到这个程度。”
“L函数零点关系会是条路。
EH猜想涉及平均模数q的误差项，而每个q对应一个 Dirichlet字符χ(mod q)，其L函数的零点影响分布。
Bombieri-Vinogradov定理的证明依赖零点密度估计，控制L函数在Re(s)≈1附近零点的数量。
EH猜想需要更强的零点控制，这就涉及零点在临界带内的分布规律。然后再借助GRH的间接支持.”
林燃在黑板上写了又擦，擦了又写。
在座的学者们都很清楚，这个问题很重要。
光是这个猜想本身就已经足够有价值了。
一直持续到晚上十一点，林燃开始加快粉笔书写的节奏，片刻没有停顿。
旁边负责帮他换黑板的学生都换了两茬。
他一点没有停顿的写满了整整三十张黑板。
台下坐着的教授也就那么二十来个人，地上用睡袋席地倒下的人还更多。
随着粉笔摩擦黑板的声音越来越明显，越来越快，醒着的把睡着的叫起来。
大家注意着黑板上的内容。
“这是？”
“没错，伦道夫找到出路了。”
“我们确实是在见证历史，孪生素数猜想只是最后的目的地，我们现在在欣赏前往目的地沿途的风景。”
“我刚睡过去了，伦道夫选择的是哪条路？”
“我想应该是将描述zeta函数零点的差分分布，扩展到Dirichlet L函数，去影响算术级数的平均行为。若零点分布符合随机矩阵模型，那么就意味着能支持他的猜想的误差控制。”
“这是个思路，但是否可行还得看他的具体设计了。”
林燃写完后，看着眼前的成果，有一种由衷的成就感：
“好了，今天就到这里为止了。
大家可以看一下，我已经要困得不行了。
当前结果深化了我们对素数分布的理解，为孪生素数猜想的证明造出了前置工具。
它的突破性在于超越了过往模数的限制。
最后这个猜想的证明过程，我分析了Dirichlet L函数的非平凡零点分布。
通过假设零点在临界带内足够稀疏，估计了误差项的平均行为。然后设计一种新型筛法，结合双线性形式估计和分散化技术，优化了模数分解，突破传统方法的瓶颈。
最后通过一个新引理，控制高维指数和，确保误差项满足猜想要求。”
林燃最后在黑板上做了一些注释。
“大家，我先去睡了，预计六个小时之后继续。”
林燃没有离开，直接去大礼堂边上的小房间休息。
台下教授和博士们都已经挤到前面来，看黑板上的内容。
今天一整天，林燃一共写了整整三十块黑板。
邦别里-维诺格拉多夫定理和邦别里-维诺格拉多夫定理的增强形式容易理解。
而且本身普林斯顿就已经做出了邦别里-维诺格拉多夫定理，所以他们对邦别里-维诺格拉多夫定理和其增强形式都理解的很快。
到了EH猜想。
因为此时EH猜想本身都还没有，林燃相当于从猜想提出到证明，自己一手包办了。
“太美了，简直就是艺术品。”
“这是超级增强的成果。”
“这里有简化空间吗？”
“不是，零点密度估计、配对相关猜想可能能够把教授关于这一猜想的证明进行简化，不过我们还得好好想想。”
“关于控制高维指数和，来确保误差项能够满足猜想要求的角度太过于巧妙了。”
“不行，我得赶紧回去把今天的成果发给还在学校的同行。”
数学论文用电报不太现实。
理论上，可以将数学论文简化为纯文本，编码为ASCII或Baudot字符，分段通过电传发送，实际上非常难精准表达。
现在一般用传真机扫描论文，直接把图传过去。
由于传真成本太高，即便哥廷根作为大学城，也就只有那么寥寥数台传真机器。
但架不住林燃今天的结果非常惊人，无论是结果本身，还是用到的方法，都让做数论的学者们心潮澎湃，想要第一时间分享给本校同僚，以及喊他们赶紧来哥廷根见证奇迹。
休假？这种时候还休什么假，来哥廷根现场见证奇迹才是最重要的。
即便是深夜，但在座的学者们，无论刚才是否有休息，现在都变得精神百倍。
考虑到林燃已经进旁边的休息室休息了，他们压低声音在讨论今天的成果。
“不管怎么说，光是前面能够把模数推进到这个程度，这已经是非常了不起的成果了。”
“了不起？起码也是本世纪数论领域最重要的成果之一。”多伊林纠正道。
“西格尔教授，不不不，还没到最终下结论的时候，还有五天时间，从今天的成果来看，伦道夫未必不能把孪生素数猜想给完成。
某种意义上来说，孪生素数猜想是堪比哥德巴赫猜想的结果了。
如果他能够完成的话，那么这毫无疑问就是本世纪数论最重要的成果，我们可以把之一去了。
除非本世纪剩下的三十五年时间里，有人能够完成哥德巴赫猜想的证明。”来自法兰西的顶级数学家让·皮埃尔说道（27岁拿下菲尔兹，集数学三大奖于一身）。
他过去一直做的是交换代数和代数拓扑，在最近这十多年时间里转而和格罗滕迪克合作，做代数几何。
他接着说道：“我过去对数论想的太简单，有太多分析上的工具可以应用在数论领域。
我想我们现在做数论的数学家们对分析的掌握和伦道夫差的太远了。”
西格尔苦笑道：“我们不能拿伦道夫作为标准去要求年轻的学生们，这未免有点太过分了。”
皮埃尔摇头道：“不，我不是说要拿伦道夫在分析上的扎实功底去要求年轻的博士，而是我们对年轻学者们的培养，不能说他做的课题是数论，就放松对其分析能力的要求。
做数论的，分析能力应该要和做分析的博士相仿，做分析的博士对代数的了解要和做代数的博士相仿才对，自从伦道夫提出了伦道夫纲领之后，我们愈发认识到不同细分数学领域之间本质上有着非常紧密的联系。
我们应该要推动年轻学者们任何一门都不能放松，我们得培养全能学者。”
西格尔说：“你打算回巴黎高师之后推动按照这个标准要求巴黎高校的数学系学生们？
这不又是往回走了吗？”
西格尔这里说的往回走是指，早期大家都培养全能数学博士，后来随着现代数学越来越抽象，人的精力有限，所以不再要求学生们全精，因为一般人做不到这点。
“没错，试试吧，至少得按照这个标准去要求最有天赋的那批年轻人。”皮埃尔点了点头，视线依然聚焦在黑板密密麻麻的公式上。
西格尔年纪比皮埃尔更大，他充分理解对方想要表达的意思：“你是说数学在转变，我们培养人才的观念也需要转变？”
皮埃尔点头：“没错，伦道夫用行动和成果揭示了不同数学分支之间存在的关联，这种关联越发明显，我在和格罗滕迪克沟通过程中，我们都是这样认为的。
也许是伦道夫，也许是别人，总有人能够将伦道夫纲领做提出的理念变成现实。
站在现代数学又要走进新阶段的当下，我们也应该要及时转变培养年轻数学家的策略。
另外我的私心在于，我也想为法兰西挖掘伦道夫这样的人才。”
“没有观众想看这样的电视节目，教授几乎不说话，一说就是非常专业的数学知识，别说我，就连现场的数学博士、数学教授们能够完全听懂教授在说什么的都没有多少。
我们的观众，想要更多的信息，我们现在的直播是完全错误的。”节目总监赫尔曼·施密特说道
当天深夜，除了数学家们睡不着，NDR的工作人员同样睡不着。
除了一开始直播有很多观众，后来人数越来越少。
因为大家看不懂。
NDR汉诺威分部会议室烟雾缭绕，木桌上散落着文件、烟灰缸和咖啡杯，墙上挂着NDR标志和节目表。
赫尔曼接着说道：“我们得解决这个问题。
教授的讲座才播了一天，观众投诉就堆满了桌子。
有人说这是外星语言，还有人威胁要换台。
我们不能坐视不管，六天直播怎么办？”
赫尔曼头都要秃了。
本来以为这是史无前例的一次火爆直播，结果确实火爆，只火爆了前面半个小时。
半个小时之后就全是投诉了。
“电话从播出后就没停过，观众说他们想看教授讲话，但不是这种满屏公式的讲座。
有人甚至问我们是不是播错了频道！
我们得采取行动，不然观众会流失。
能不能和教授沟通，让他讲讲登月中的趣事？讲讲航天和月球，现在现场挑战孪生素数猜想，我承认这很有意义，全球数学家都在关注，但我们是不是高估了观众的接受程度？”
台长韦伯是半个小时前才赶到办公室来的，他无奈道：“谁去让教授调整内容？
你去吗？你有这个面子吗？
摆明了教授现在要做的就是在哥廷根创造奇迹，能让他改变主意的人在白宫，你得先找到林登约翰逊总统，然后再由他去和教授交涉。
我们没人能做到这一点。
而且这是历史性事件，NDR有责任直播这样的学术盛事，我们不能因为观众的意见就放弃。
这样我们可以预录一些解说片段，每天直播前后播出，解释基本概念，教授讲完之后，和柏林方面联系，让他们派数学系教授前来支援。
我们需要比我们更专业，但又比教授本人更能用通俗化语言表达的人来讲给观众们听。
总之，赫尔曼，记住，NDR不是娱乐频道，我们是公共广播，教育是核心使命，伦道夫的讲座代表了哥廷根乃至德意志的学术传统，我们不能向观众投诉低头！
我们在直播传奇的诞生。”
赫尔曼问：“我只有一个问题，教授如果失败了怎么办？”
韦伯的看法和林燃一样：“教授失败了也同样是传奇。”
进入到第二天之后，进展仍然迅速，因为说白了先把GPY筛法讲解一遍，然后就迅速推进张益唐的成果。
第三天的晚上，70000000这个数字已经出现在了黑板上。
十五分钟的注解写完后，台下能看懂的教授已经在安静的鼓掌了，只有动作没有声音。
对于孪生素数猜想本身来说，这已经是史诗级突破了。
“各位，我们现在已经向孪生素数猜想的终极目标迈出了关键一步。
我们已经顺利找到了一个数字，一个明确的数字，是的，这个数字能够使得有无限多素数对，它们的差不超过N。
这个N就是7000万。”
林燃说完后，台下掌声从小到大，尽管台下的人数只有一百来号人，但掌声在这个深夜却显得格外清晰。
此刻还能坚持在电视机前看直播的观众，或者巧合下打开电视的观众，被这阵掌声所提醒，他们意识到有了不起的大事发生。
现场的数学博士们则从这阵掌声中听到了，一群人类顶级大脑在为另一颗顶级大脑的智慧闪光而欢呼。
等掌声平息后，林燃接着说：
“这是人类历史上首次为素数间的距离设定了上限。
塞尔伯格的筛法为我们提供了捕捉素数的网，我们在第一天证明的定理揭示了素数在算术级数中的分布奥秘。
结合上述这些工具，我在这两天开发了一种新型筛法，优化了误差项的控制，证明了有限间隙的存在。
这一证明只是开始！它为孪生素数猜想的最终解决铺平了道路，我们剩下的是在未来三天时间，把N从现在的7000万，推进到孪生素数猜想所明确要求的数字2！”
今天还有一章，今天会把这一段写完