第100章 彻底解决刚性方程的办法
第100章 彻底解决刚性方程的办法
之前通过系统对于【数学通感】这一能力的描述，林叶虽然能够猜到这个能力会非常厉害，但是没有体验过，所以他并不知道能有多厉害。
但是现在，林叶就完全意识到了。
他的脑海中浮现出了之前周文渊跟他说的，他们如今所面临的那个刚性方程，即带有刚性源项的双曲/抛物型守恒律方程组。
大概长这样：U/?t=F（U）+（1/ε）S（U）。
在这个方程中，F就代表慢速流动项，S则代表着快速反应项。
而林叶惊讶地发现，这两个让他们整个课题组都感到头疼的物理算子F，以及S，在他的眼中竟然逐渐重叠成了两个抽象的代数符号：A和B。
一种前所未有的电流瞬间击穿了他的神经中枢。
「这不仅仅是方程————这是两个李代数的元素！」
林叶瞬间便意识到，这个A和B，并不是什么普普通通的字母。
他才在修炼空间里苦修了40天的记忆，那些关于BCH公式、关于李括号、关于非对易几何的抽象知识，此刻开始在他的脑海中掀起了一道猛烈的风暴。
得益于他修炼完成之后，这些知识的记忆都在系统的帮助下直接打包进了他的记忆当中，所以这些知识都清晰地保存在他的脑子里面，想要忘记都难。
于是乎————
「刚性方程的难点在于快尺度和慢尺度的无法分离——」
「但如果是从李代数的视角看呢？」
林叶的童孔微微收缩，大脑飞速运转。
「传统的算子分裂方法之类，实际上是在强行假设这两个算子是可交换的，也就是（A+B）t
）≈e^（At）·e^（Bt）。但实际上，流动和反应是高度耦合的，它们不可交换！也就是说，李括号[A，B]≠0！」
「正是这个非零的李括号，导致了巨大的误差，迫使我们不得不把时间步长缩得极小。」
「那么——」林叶的心跳开始加速，「既然通用的刚性求解器不存在，那为什么不针对这种「流动+反应「的特殊结构，利用BC州公式，专门构造一个只针对这类方程的指数积分器呢？」
「不需要解决所有问题，只需要利用李群的性质，把这两个算子的耦合误差，用高阶李括号项显式地修正回来——」
「虽然目前还不知道具体该怎么构建那个预处理算子，也不知道该怎么把这个无穷级数截断，但——利用李群的结构保持特性，似乎真的可以绕过刚性壁垒！」
随着这一连串的思路在林叶的脑海中浮现出来，他不由得张了张嘴。
这就是【在看似无关的数学领域之间发现深层同构的能力】吗？
确实，不管是刚性方程，还是李代数，这两者好像完全不同，但是现在，他却能够发现这两者之间那隐秘的同构性。
林叶不由在脑海中回想起他的头两篇论文，他当初就是从这两篇论文的结论中发现了一些隐藏的联系，之后才搞出了那个帮助到周文渊教授他们课题的边界层对偶定理。
而那个隐藏的联系，他足足用了几个月的时间才发现，而就连周文渊教授一开始都没有意识到，即使是之后意识到，也没有那么容易就能够挖掘出来。
而如今————
拥有了数学通感这个能力的他，如果放在当初的话，他一眼就能够意识到那两个结论之间存在着联系。
一时间，他不由在心中惊叹。
这个能力，绝对是他从修炼空间中获得过的最牛逼的能力一当然，如果不算他获得的那百分百以上的数学能力提升的话。
忽然，就在这时，旁边传来了声音。
「林叶，怎么了？」周文渊问道，「看你好像想到了什么的样子？」
林叶从对数学通感效果的惊叹中回过神来，看向周文渊，想了想后，他便开口道：「就是————
您刚才说，我们课题现在面临的是一种，带有刚性源项的双曲/抛物型守恒律方程组对吧？」
「是的。」周文渊颔首，「有什么问题吗？」
「嗯————您提到的那个时间尺度的正交分解————我突然有了一点不成熟的想法。」林叶准备将自己刚冒出来的思路，跟周文渊说一说。
而听到林叶这么说，周文渊顿时便是眉头一挑，露出了一个讶然的表情，林叶刚才就是听他讲了讲，就产生了想法？
「你说说看，大胆说就是了。我们的学术研究中，没有所谓不成熟的想法，只要你想到的这个方法是有一定逻辑性的，哪怕听起来再怎么艰难，那都说明你是动过脑子的。」
他当即便鼓励道。
此外，他也很想知道林叶究竟是产生了什么想法。
林叶点点头，而后走到办公室里的白板前，拿起笔，先是在上面写下了他们当前所面临的那个刚性方程。
接着，他又在旁边写下了一个简单的李括号符号[F，S]。
他转过头，对周文渊说道：「我在想，能不能引入李群的视角？如果我们把流动项和反应项看作李代数中的两个元素。」
周文渊顿时一愣，林叶还懂李群？
他说道：「你继续讲。」
林叶点点头，随后便将自己刚才产生的那些想法，和周文渊分享了一遍。
一开始，周文渊并没有抱有太多期待，他最多只是觉得，林叶竟然还懂李群及李代数，毕竟李群与李代数的学习难度相当高，即使是他们上京大学数学系，在本科阶段一般也不会设置这门课程，最多就是在一些选修课程中会提到，而主要学习这门课的阶段，都是研究生了。
然而，随着林叶逐渐的讲述，他对于李群及李代数的了解程度，越发给周文渊带来震惊。
但更重要的是，林叶的思路，更是让周文渊的目光逐渐变得严肃乃至凝重了起来。
就这样，直到林叶的讲述结束，周文渊沉默了片刻，凝视在白板上的那个李括号，神情变得异常复杂。
作为数学物理领域的顶尖学者，他自然不是对李群数值算法一无所知，事实上，几何数值积分一直是计算数学的一个分支，其中就包含了李群积分器。
但他真正惊讶的是，这些东西是从林叶嘴里说出来的。
「几何数值积分————李群方法————」周文渊缓缓开口，语气中带着几分难以掩饰的惊诧，「林叶，我是真没想到，李群和李代数你都这么了解，我很好奇，你是怎么掌握到这种程度的？」
听到这个问题，林叶顿时戏精附身，先是挠了挠头，嘿嘿笑着说道：「其实也都是我平时通过看书学到的，像是本科数学阶段的所有书，我都已经看完了，现在也已经开始学习研究生阶段所要学习的知识了。」
「哦，对了！其实我最近还完成了一个关于李群和李代数方面的成果，我能想出那些，大概也是因为我完成那项成果过程中学到的那些知识吧。」
听到林叶这句话，周文渊的眼睛顿时又瞪大了，「你还完成了一个成果？」
林叶点点头，「标题大概就是，《关于自由李代数中BCH级数系数的组合结构及其范数最优估计》。」
这正是他在修炼空间中完成的那篇论文。
这篇论文既然是自己凭本事研究出来的，那当然也要找个机会发表出去。
刚好趁这次机会和周老师说一下。
至于周文渊会不会去想他这篇论文是怎么来的————
还是那句话，他凭本事搞出来的，就算是别人再怎么吃惊，肯定会自己脑补出合理方式的嘛。
周文渊此时深呼吸了一口气，而后才缓缓吐出。
自己一个上京大学教授，博士生导师，优青，未来的杰青、院士，居然因为眼前这个高中生而对自己这么多年做出来的成就产生了一种怀疑感。
可怕，可怕。
算了，林叶虽然自己搞出了一篇论文出来，但是也未必是什么非常有价值的成果，也许就像是当初他自己搞出来的那两篇论文一样，发个国内核心期刊，或者是sci二、三区的样子吧。
于是他摆出了老师的架子，点点头，表扬了一句：「不错，能够搞出一项成果，说明你对于李群和李代数有了自己的思考，等你把论文整理出来后，我帮你看看吧。」
「至于你刚才说的那些东西————」
他站起身，走到白板前，看着那个李括号。
「你的思路，确实完全没错，特别是在理论上，李群和李代数确实是处理刚性的一种极佳视角，我很惊讶，你居然能够发现这一点。」
周文渊的语气郑重起来，「很多数学家都尝试过这条路，试图利用李群的几何性质来保持解的结构。」
周文渊转过头，看着林叶，眼中的赞赏之意愈发浓厚：「但是，你的切入角度非常刁钻，没有去套用那些通用的、复杂的李群龙格—库塔格式，而是提出用BCH公式来专门修正流动与反应这两个特定算子之间的不对易误差。」
「这个思路，非常清晰，也非常漂亮。」周文渊点了点头，给予了肯定的判断，「在数学逻辑上，它是完全自洽的。如果你能把这个修正项算出来，理论上确实可以在保持显式效率的同时，大幅提高精度和稳定性。」
听到周教授的肯定，林叶心中微微松了一口气。
然而，下一秒，周文渊的话锋突然一转。
「但是，林叶。」周文渊的表情变得严肃起来，他重新坐回沙发上，手指轻轻敲击着扶手，「虽然思路是通的，但你如果真的想沿着这条路走下去，把它变成一个可用的算法，大概率会碰到一些问题。」
林叶一怔：「您请说。」
周文渊竖起一根手指：「第一，BCH公式里涉及到了矩阵指数的计算，也就是e^（At）。对于一个小矩阵来说，这很好算。但我们的流场有几百万个网格，每个网格有几十个组分，想要直接计算它的矩阵指数，其计算量是天文数字，比直接解线性方程组还要慢得多。」
「第二，就是李括号的计算代价。」周文渊竖起第二根手指：「你要修正误差，就要计算[F，S]。」
「在数学上，这等于计算AB和BA而已，没有区别。但是在物理上，这意味着你要计算流体雅可比矩阵和化学反应雅可比矩阵的乘积。对于复杂的化学反应机理，这个雅可比矩阵极其稠密且复杂，每算一次李括号，对于计算机来说都是一种极大的负担，而如果高阶项太多，这个修正过程本身就会成为新的计算瓶颈。」
说到这里，周文渊深深地看了林叶一眼，总结道：「所以，这个方法在理论上是完美的，但在工程实现上，往往因为计算代价过大而并不被接受，这也是它至今没有在高超声速CFD领域普及的原因。」
「你想做这个，就必须找到一种巧妙的方法，既能利用李代数的结构优势，又能绕过这些昂贵的矩阵运算。」
「这其中的难度，我想即使不用我多说，你应该也能够明白。」
周文渊说完，静静地看着林叶，似乎在等待他的反应。
这个年轻人是会知难而退？还是————
林叶听完这番分析，眼中的光芒非但没有黯淡，反而变得更加炽热。
矩阵指数难算？李括号代价高？
随着脑海中闪现过好几种之前学习过的方法和知识，他的心中顿时就隐隐有了一些新的想法。
他的脸上露出笑容。
「谢谢周老师专门帮我分析了，虽然您说的这两个问题可能确实存在，不过我还是挺想试一试的。」
周文渊的眼睛一瞪。
不是，你还真想试啊？
他算是看出来了，林叶现在是跟这个问题杠上了。
虽然从某种程度上来说，对于问题的坚持，是一种很不错的习惯。
但是他们现在讨论的这个问题，可是刚性方程问题，他们整个课题组都被这个问题给难住了。
早在之前的一场组会上，他们也讨论过能否搞出一种数学理论，将这个问题给解决。
但是，当时得出的就结论就是，很难，非常难。
他们三位子课题负责人，以及陈景明院士都表示过，如非必要，就不要将时间浪费在这个方法上面了，到时候未必能够搞出什么成果，还是老实走他们之前那种降维思路就行，稳扎稳打，至少搞出来的东西是看得到的。
再加上他们每位教授平时都有其他事情要忙，当然就更没空把太多时间放在这种事情上面了。
就比如周文渊，如果他手上只有两个项目的话，他可能还会尝试一下，但是他现在手上可是有六个项目，那就只能敬谢不敏了。
而林叶虽然不像是他们那样事务繁忙，但对于他也想要尝试这个方向，周文渊也是不支持的。
毕竟，像是林叶这样有天赋的学生，完全没必要在这个方向上面钻牛角尖，不如多学些其他知识，扩大一下知识面，或者是从一些简单的课题做起。
要是林叶因为在这个方向上面久久研究不出东西来，到时候一个心灰意冷，甚至转行跑路，那就等于又是一个数学天才的凋零了。
于是周文渊当即便劝说了起来。
「林叶，我是支持你这种态度的，但是吧，你真想要研究这个方向的话，当个兴趣就行了————」
「————你不是马上就要参加那个IMO，还有IPh0来着么？你接下来还是专注于这两个比赛上面吧，为国争光嘛！不比你死磕这个问题好？」
一阵好说歹说，甚至对于竞赛不是很在意的周文渊，都开始让林叶专心搞竞赛了。
林叶也是一阵哭笑不得，他算是看出来了，周教授这是不相信他能够做出那种成果出来。
但是人家也确实是在为自己考虑。
所以他也就索性在表面上答应了下来，表示自己只会当做一个兴趣，不会在上面花费太多时间了。
这才让周文渊安心下来。