第113章 欧拉遗产问题

7月10日，上午七点半，

智华楼一楼，数学院的学生志愿者们戴着红袖套，主持着秩序。

来自全国各个省份，还有隔壁大鹅国和星岛的代表队，一共699名参赛者排队陆续进入考场。

每个教室都有两名监考老师，教室前方摄像头来回转动，像是枪口一般威慑众人。

考生的位置前后左右间距都足有一米，考生只允许携带报到那天发的文具包，其余物品一律不允许带入考室，否则按违规处理。

“放轻松，不要有什么负担，相信自己的实力，正常发挥就行。”

考室外，安成章例行鼓励一番。

只是话说出口，他自己也感觉有些怪怪的，感觉好嚣张！

陈辉点头，转身向安检的地方走去。

一走进教室，肃穆的感觉便扑面而来。

饶是身经百战的陈辉，在这种氛围下，都有些微的紧张。

跟参加巴巴里阿数学竞赛是截然不同的两种感觉。

不过轻微的紧张反而能够激发潜力，让考生们有更好的发挥，这也是很多同学考试比平时分数更高的原因。

CMO考试分为两天，10号和11号，每天上午八点开始，持续四个半小时，下午和晚上是自由活动时间。

拿到试卷，只有三道题。

CMO的赛制跟IMO是一样的，都是一天三道题，每天四个半小时的答题时间，总共六道题，只是CMO每道题分数是21，IMO每道题分数是7分。

扫了一眼三道题目，确认没有什么问题后，陈辉才仔细审第一题。

【某次运动会相继开了n天（n＞1），共发出m枚奖牌，第一天发出奖牌1枚，和余下m-1枚的1/7，第二天发出两枚，和余下的1/7，依次类推，最后在第n天发出n枚奖牌，而没有剩下奖牌，问这次运动会开了几天？共发了几枚奖牌？】

“欧拉遗产问题？”

看到题目的瞬间，陈辉不仅得出了答案，还找到了这道题的祖宗。

欧拉遗产问题是说，有一位富豪，在他临终时，给自己儿子指定了特别的遗产分配方式，第一个儿子先取一百金币，然后取剩下金币的1/10，第二个儿子取200金币，然后取剩下的1/10，依次类推，最后每个儿子拿到的金币一样多，问，富豪总共有几个儿子，富豪的遗产有多少金币。

这个问题很有趣，是一道代数的经典问题，但通常适合小学高年级的朋友来练习。

这道题解法也很多，最简单的就是设富豪遗产金币为x，所以第一个孩子得到的金币就是100+(x-100)*0.1=90+0.1x。

第二个孩子得到的金币是200+(x-(90+0.1x)-200)*0.1，而两个孩子获得的遗产相等，自然就能算出X为8100，也就能算出富豪有9个儿子。

当然，这道题还有很多有趣的解法，比如将未知变量设成富豪的儿子数，比如利用等差数列的兴致……

但这道题的难度绝对不会超过小学水平。

CMO上当然不会出现小学难度的题目，所以眼前这道题稍微做了点变形。

题目并没有说每天发出的奖牌数相等，但道理都是相通的，只要上过初中数学，解出这道题就不难。

先假设第K天剩余的奖牌数为rk，那么发出的奖牌mk=k+1/7(rk-k)，

那么第K+1天剩余的奖牌数r(k+1)=rk-mk=6/7（rk-k）。

即rk-7/6r(k+1)=k。

所以有r1=m，r1-7/6r2=1……r(n-1)-7/6rn=n-1，rn=n。

等式两边同时乘以(7/6)^(n-2)，然后等式两边相加之后就能逐项相消，最后得到m=1+2*6/7+……+n(7/6)^(n-1)。

再使用点小技巧，用m-7/6m就能得到-1/6m=(1+7/6+……+(7/6)^(n-1))-n(7/6)^n，右边式子的左半边部分明显是等比数列，利用公式求和，最后化简，就能得到m=36+(n-6)*(7^n)/6^(n-1)。

一个式子，两个未知数，显然无法求解出具体的值。

但题目说了，n>1，所以n-6必定小于6^(n-1)，而7^n和6^(n-1)互素，同时m、n为正整数，所以m不可能有分数部分，那么n就只能等于6，m也就只能是36。

写完答案，总用时不超过两分钟！

不止是陈辉，教室里不少同学都露出了开心的笑容，今年CMO看样子是准备给大家放水了。

陈辉没有笑，虽然那位江城大学的教授给了他许诺，但若是在CMO上发挥不好，他可不确定对方的许诺还算不算数。

从一开始他就知道，这个世界，归根结底还是由他的实力说了算。

看向第二题，

【设A是十进制数4444^4444的各位数字之和，B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和】

有点意思的题目，陈辉看完题目，心中的紧张已然完全消失，彻底的投入到了题目之中，他已经做过很多数学题，也参加了许多比赛，一开始他只是为了赚钱，为了改善自己的处境。

但渐渐的，看到有意思的题目，他有些忍不住见猎心喜。

别看他能在阿赛决赛拿到满分，但CMO与阿赛可以说是两个完全不同的赛道，阿赛像是F1方程式赛车，讲究的是用最好的车，以最精妙的技术来夺得冠军。

而CMO是让选手骑山地自行车玩山顶速降。

拿到F1方程式赛车冠军，对于自行车速降并不会有太大的帮助。

这间教室中，刚才还露出笑脸的其他考生们开始皱起眉头。

站在讲台和教室后方的两位监考老师见此，抬头对视一眼，露出了“健康”的笑容。

这次CMO由燕北大学数学院承办，考试规模不小，自然需要数学院的学生来协助，这两位监考老师也都是数学院的研究生。

他们在发卷时就注意到今天的题目了，当时他们就觉得这次的出题老师下手有些重，不过想到自己平时期末考试时欲仙欲死的场景，再看这些小家伙们眉头紧皱的样子，莫名就感觉很开心。

这还只是第二题呢，等到这些小家伙看到第三题，应该会感到更加“惊喜”吧。

他们两个研究生都暂时还没想到要怎么证明那道题呢。

一念及此，两人笑得更加开心起来。

陈辉眉头紧锁了一秒，随后已然舒展。

光看4444^4444自然是看不出什么东西来的，但只要稍微写一个稍大一些的数字，就很容易发现规律。

很显然，在十进制中，任何一个数字n与他的各位数字之和模9是同余的，例如2025%9=（2+0+2+5）%9=0，这很好证明。

只需要将由k位数字组成的n写成n=10^k·dk+……+10^1·d1+10^0·d0这种形式，学过一点二进制的同学很容易就能想到这种表达方式。

然后只需要稍微处理一下，将原式写成n=（10^k-1）dk+dk……+(10^1-1)d1+d1+d0，显然，10^k-1模9等于0，所以n模9，就等于dk+……+d1+d0，上面的结论得证。

有了上面的结论后，很容易就能得出，B的各位数字之和C与B模9同余，C又与4444^4444模9同余，4444^4444%9=(493*9+7)^4444%9=7^(3*1481+1)%9=(7^3)^1481*7%9=(9*38+1)^1481*7%9=7。

而4444^4444<(10^4)^4444=10^17776，当这个数字的每位数都是9时，它的各位数之和能够取到最大值，也就是说A≤9*17776=159984。

在小于159984的数字中，各位数之和最大的是99999，即A的各位数字之和B≤5*9=45。

在小于45的数字中，各位数之和最大的是39，即B的各位数字之和C≤12。

结合最开始得到的条件，C%9=7，那么C就只能是7了！

【你的数学等级由2级72%提升到73%】

写出答案的刹那，眼前再次跳出弹幕。

最近熟练度提升的越来越快了。

陈辉知道，这与刚刚提升的洞察力有很大关系，有点类似得到神器的游戏角色，角色等级很低，但数值已经超模，抬手一挥就是一群怪被秒，经验值蹭蹭上涨，等级自然也会快速提升。

当然，一直以来做题都是提升熟练度很好的途径，尤其是做有一定难度的题目！

陈辉才发现，在参加阿赛时，并没有出现熟练度提升的情况，现在看来，阿赛的题目或许很难，解答需要的知识很精深，需要对数学的某个方向有深入的学习，但巧妙程度，或许还不如CMO。

数学追求的永远都是简洁、优雅！

陈辉看向第三道题的时候，教室后方的钟表的分针才刚刚划过90度，其他同学或是皱眉苦思，或是在草稿纸上忙碌演算。

两位监考老师察觉到他翻页的动静时，都是下意识的迈步想要过去查看，但碍于职责，在教室后面那位同学停下了脚步，任由另一位同学接近陈辉。

经过去年事件，今年阿赛热度本就很高，陈辉又复刻了去年姜圣的道路，更是将阿赛的热度推向另一个高度，所以不少数学专业的学生都至少听说过陈辉。

两位监考老师在陈辉进入考场时，就注意到他了，他们自然好奇，这位在网络上引起巨大争议的小家伙，到底是什么水平。

站在讲台上那位监考老师礼貌的跟同学点头示意，表示领情。

教室末尾的同学笑着回应。

不过讲台上那位监考老师也并没有大步向陈辉走去，那样就显得太过刻意了些，搞不好会被投诉干扰考试。

于是他缓步走下讲台，装作巡视，尽量不发出动静的慢慢向陈辉所在的位置靠近。

【3.在太空中有n个半径相等的球形星球，如果一个星球表面的某个区域不能被其他任何一个星球所看见，我们就称这个区域是“隐秘的”，证明：所有这些“隐秘的角落”的面积之和就等于一个星球的表面积。】

当n=3时，结论是显而易见的，如下图所示，

三个点可以确定一个平面，所以这个问题可以转化到二维平面上来分析，黄色部分就是其他星球看不到的地方，显然，这三个部分区域圆心角之和是三百六十度，符合结论。

但当推广到n个星球时，情况就变得复杂起来。

陈辉却没有停笔，开始在答题纸上画圈圈。

证明：如上图，任意选一个方向定位北极点，则n个星球在这个方向上都会有一个北极点，显然，只有最北边的星球的北极点无法被其他星球看到，其他星球的北极点都会被比他更靠北的星球看到。

此时引入一个参考星球，我们遍历这个星球上的所有点，每次都选一个点作为北极点，那么在这个方向上，只有最北方星球上的点是隐秘点，因此这个参考星球上的每一个点都对应着一个隐秘点，而这个方向上再无其他隐秘点。

所以，遍历完这个参考星球后，所有隐秘点的和，就是这个星球的表面积。

证毕！

这道题并不是常规的数学题目，在陈辉看来，是考察同学们的空间想象能力，这个能力是学习几何和拓扑的基础，比如拓扑中的商空间、闭曲面等。

不巧的是，陈辉的拓扑学得还不错，所以他一眼就看穿了这道题的本质。

直到这时，讲台上那位监考老师还没有来到陈辉身前。

看到陈辉举手，他心中一喜，瞌睡来了有人送枕头，再无顾忌，三步并作两步，来到陈辉身前，“这位同学，请问需要什么帮助吗？”

“你好，我想交卷！”

收拾好文具的陈辉回答道。

在考室里没法看书，而这堂考试的时间是四个半小时，他可不想在这里白白浪费这么多宝贵的时间。

“？？？”

关一帆满脸茫然，脖子伸长得像只小龙虾般看向陈辉的答题纸。

三道题都写满了！

可是这才多长时间？

关一帆下意识抬头看了看教室后面的钟表，八点十七！

出题组估计，全国各地数学天才需要四个半小时才能完成的题目，你十七分钟就做完了？

两分钟前他才刚看到陈辉翻答题卷，也就是说，这家伙只用了两分钟就做出了第三题？

发生什么事了？

这是魔法吗？！

两分钟做出第一题他能理解，但那可是第三题啊！

看完题目的他都还没有头绪来着。

他可是燕北大学数学系研究生，当年同样也是CMO金牌选手。

能够上燕北大学的，谁还不是个天才？

陈辉不知道这位监考老师在想些什么，拿上文具袋后就起身往教室外走去。

其他同学也都看了过来，不由得暗自摇头，这家伙考试才开始十几分钟就要去上厕所了？

别看四个半小时时间很长，专注答题的话，四个半小时一晃就过了，所以他们都是在进入考室之前就清空了库存，甚至刻意控制饮食，少喝水，就是为了保持好状态，节省更多时间。

能来CMO的都是天才中的天才，如果不在这些细节上下功夫，怎么能超越其他选手？

这个家伙真是太不尊重CMO了！

也怪不得他们会这么想，毕竟考试才开始十几分钟，他们总不能认为这家伙是交卷的吧？

“诶，同学，要考试开始后三十分钟才能交卷！”

直到陈辉走出教室，那位发愣的监考老师才反应过来，对着陈辉的背影大喊到。

“？？？”

原本已经低下头继续做题的同学们再次抬起头，眼神茫然的看向那位监考老师，还有已经空荡荡的教室门口。